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Teorema di de L’Hôpital per le forme di indecisione dei limiti

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Il Teorema di De L’Hôpital può essere di grande aiuto quando si deve calcolare il limite di una funzione fratta $\frac{f(x)}{g(x)}$, con $f, g$ funzioni reali di variabile reale, che presenta una forma di indecisione del tipo $\left [ \frac{0}{0} \right ]$ oppure $\left [ \frac{\infty}{\infty} \right ]$. Il teorema ci garantisce che, sotto opportune condizioni, vale il seguente risultato: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)}$$Questo strumento ci permette quindi di provare a risolvere la forma di indeterminazione calcolando il limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore (calcolate separatamente).

Vale la pena di sottolineare quali sono le ipotesi del teorema, cioè le condizioni che devono essere soddisfatte per poterlo utilizzare:

  1. $f$ e $g$ derivabili in un intorno di $x_0$;
  2. $g’(x) \neq 0$ in un intorno di $x_0$;
  3. esiste il limite $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)}$.


In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math

 

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Elia Bombardelli

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