Tangenti a una circonferenza: esercizi svolti

Per determinare l’equazione di una circonferenza è necessario determinare i tre parametri $a$, $b$ e $c$ che compaiono nell’equazione canonica $x^2 + y^2 + ax + by +c = 0$. Dovendo determinare tre parametri, sono necessarie tre condizioni.

Abbiamo già visto come trattare altre condizioni; a queste ora aggiungiamo la seguente: che una retta data sia tangente alla circonferenza. Questa condizione si ottiene nel seguente modo:

  1. si mettono a sistema l’equazione della retta data e quella della circonferenza;
  2. successivamente si perviene all’equazione risolvente, di secondo grado in $x$;
  3. infine si impone la condizione di tangenza $\Delta = 0$

Quest’ultima equazione è nei parametri incogniti $a$, $b$ e $c$, e può essere aggiunta ad altre per determinare l’equazione della circonferenza.

Può anche essere richiesto di trovare le rette tangenti ad una circonferenza data passanti per un punto dato. Per questo tipo di problema si procede in questo modo:

  1. Si scrive l’equazione del fascio proprio di rette passanti per $P$: $y-y_P = m(x-x_P)$
  2. Si mette a sistema l’equazione della circonferenza con quella del fascio appena scoperto: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 +ax + by + c = 0 \\ y-y_P = m (x - x_P) \end{cases}$$
  3. Trovata l’equazione risolvente, imponiamo la condizione di tangenza $\Delta = 0$. Questa è un’equazione di secondo grado in $m$, e, come tale, può avere zero, una o due soluzioni.
  4. A questo punto, se non ci sono soluzioni di $\Delta =0$, il punto $P$ è interno alla circonferenza e non esistono tangenti; se la soluzione è una sola il punto $P$ appartiene alla circonferenza, e la tangente è unica  e la soluzione rappresenta il suo coefficiente angolare; se le soluzioni sono due, il punto $P$ è esterno alla circonferenza e le tengenti sono due, i coefficienti angolari delle quali sono individuati dalle due soluzioni.

Si può anche sfruttare una considerazione di Geometria Euclidea, secondo cui la retta tangente dista dal centro una distanza pari al raggio. In effetti, numerosi problemi sulla circonferenza possono essere risolti senza l'ausilio della Geometria Analitica, ma solo attraverso considerazioni solamente di Geometria Euclidea.

 

In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math