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Operazioni con i radicali: prodotto, quoziente, potenza e radice.

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Svolgendo esercizi con i radicali ci si imbatte spesso nella possibilità di usare la proprietà invariantiva dei radicali per semplificare l’ordine di una radice con l’esponente del radicando. Questa operazione però non è sempre possibile: per risolvere un’espresisone o un’equazione con radicali è necessario passare per espressioni o equazioni tra loro equivalenti; applicare correttamente la proprietà invariantiva permette di mantenere coerenza in queste situazioni. Per fare questo, è necessario controllare che, per ciascun radicale, le condizioni di esistenza siano le medesime e che i segni dei radicali siano gli stessi. Questa sequenza di controlli si chiama comunemente condizioni di accettabilità di  un radicale. Per imporre queste condizioni, spesso è necessario inserire, all’interno della nostra espressione, un valore assoluto.

Detto questo, scopriamo come i radicali interagiscono con moltiplicazione, divisione, potenze e radici.

  1. Se devo moltiplicare o dividere due radicali con lo stesso indice, posso sfruttare il fatto che, se $A \geq 0$ e $B > 0$, valgono le seguenti uguaglianze$$\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A \cdot B} \qquad \sqrt[n]{A} : \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A : B}$$Cioè le operazioni di moltiplicazione e divisione, in caso di radicandi positivi, passano dentro o fuori dalla radice. Se l’indice della radice è dispari e un radicando è un numero negativo, possiamo portare il segno “$-$” all’esterno della radice (come deriva dalla definizione di radicale) per poter applicare questa proprietà.
  2. Se devo moltiplicare o dividere due radicali con indice diverso, posso sfruttare la proprietà invariantiva per trasformare i due radicali in nuovi radicali dallo stesso indice: se $A \geq 0$ e $B > 0$ ed $m$ è il minimo comune multiplo tra $l$ e $k$, si ha che$$\sqrt[l]{A} \cdot \sqrt[k]{B} = \sqrt[m]{ A^{\frac{m}{l}} \cdot B^{\frac{m}{k}} }$$
  3. Se devo elevare a potenza un radicale, devo tenere presente la seguente uguaglianza:$$  \left( \sqrt[n]{A} \right)^m = \sqrt[n]{ A^m }$$Per quanto detto prima sulle condizioni di accettabilità, questa uguaglianza è vare per $n$ pari solo per $A \geq 0$.
  4. Se devo effettuare la radice di un radicale, invece, si usa questa uguaglianza:$$ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{A}} = \sqrt[n \cdot m] {A}$$Anche in questo caso, occorre imporre che $A \geq 0$ se $m$ o $n$ sono pari.

Facciamo notare che tutte queste proprietà possono essere ottenute a partire dalle proprietà delle potenze, tenendo presente che $\sqrt[n]{A} = A^{\frac{1}{n}} $.

 

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Elia Bombardelli

Relatore di Oilproject

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