In questo video viene definito il coefficiente binomiale, incontrato per la prima volta durante il calcolo delle combinazioni semplici, e le sue principali proprietà. Queste proprietà sono sfruttate per la risoluzione di esercizi sul calcolo combinatorio, selezionati tra quelli assegnati negli ultimi anni nelle prove di maturità.
Il coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$, da leggersi “$n$ su $k$”, rappresenta il numero di sottoinsiemi che si possono fare con $k$ elementi a partire da $n$ oggetti. Tale numero vale
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$
e gode di svariate proprietà, ricordate nel video:
- Proprietà di simmetria: ogni volta che scelgo $k$ elementi tra gli $n$, individuo automaticamente anche il sottoinsieme costituito dagli rimanenti $n-k$ che non ho scelto. Quindi i sottoinsiemi con $k$ o $n-k$ elementi sono in ugual numero:
$$ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $$ - Sviluppo del Binomio di Newton: i coefficienti binomiali forniscono un metodo rapido nello sviluppo della potenza $(a+b)^n$, senza ricorrere al triangolo di Tartaglia:
$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math