Il moto parabolico: formule ed esempi

Quando la si incontra per la prima volta a scuola si ha la sensazione che la parabola sia una figura geometrica in qualche modo “strana”. Infatti, mentre è piuttosto comune riconoscere intorno a noi oggetti che ricordano con la loro forma triangoli, quadrati o cerchi, la parabola sembra esistere soltanto nella mente dei matematici e non aver alcuna relazione con la realtà in cui viviamo.

In realtà c’è un aspetto della nostra quotidianità per descrivere il quale la parabola è di fondamentale importanza: la caduta degli oggetti. Non è molto facile rendersene conto dato che la velocità con cui essi si avvicinano al suolo è molto alta e rende difficile farsi un’idea della loro traiettoria.

 

La Fisica afferma che in prossimità della superficie terrestre i corpi liberi di cadere subiscono un’accelerazione verso il basso, detta accelerazione di gravità, che indichiamo con $g$, pari a circa $9,8$ $\text{ m}/\text{s}^2$, praticamente uniforme (cioè uguale in tutti i punti dello spazio).

 

Immaginiamo di lanciare un oggetto in direzione perfettamente verticale (verso l’alto o verso il basso) in un sistema di riferimento in cui l’origine coincide con la sua posizione nel momento in cui si distacca dalla mano; indichiamo con $y$ la coordinata su quest’asse e assumiamo che sia orientato dal basso verso l’alto. Per effetto dell’accelerazione $g$ il suo movimento è descritto dall’equazione $$ y = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 $$ dove $v_{0y}$ la sua velocità iniziale (positiva se rivolta verso l’alto e negativa altrimenti) e $t$ il tempo in secondi trascorso dal momento del lancio. Insomma una traiettoria rettilinea e un moto che viene detto, appunto, rettilineo uniformemente accelerato.

Tuttavia se la direzione iniziale non è verticale ma inclinata (pensiamo al lancio di un pallone in un canestro), la velocità iniziale si scompone nelle componenti orizzontale $v_{0x}$ e verticale $v_{0y}$. I due movimenti (orizzontale e verticale) sono del tutto indipendenti e possono essere descritti ognuno per conto proprio. Oltre allo spostamento verticale, rettilineo uniformemente accelerato già descritto nel caso precedente, si ha uno spostamento orizzontale che non risente di alcuna accelerazione e di conseguenza obbedisce alla legge del moto rettilineo uniforme: $$x = v_{0x} t$$ dove $v_{0x}$ è la componente orizzontale della velocità di partenza.

A questo punto se ricaviamo $t$ dalla precedente relazione $$ t = \frac{x}{v_{0x}},$$ e la sostituiamo nella legge del moto $$ y = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 $$ otteniamo l’equazione in coordinate cartesiane della traiettoria: $$ y = \frac{v_{0y}}{v_{0x}} x - \frac{g}{2v_{0x}^2} x^2.$$ Riconosciamo l’equazione della parabola $ y = ax^2 + bx + c$ in cui si ha $a= - \frac{g}{2v_{0x}^2}$, $b = \frac{v_{0y}}{v_{0x}}$ e $c = 0.$ Per questa ragione si parla di moto parabolico.

 

 

 

Malgrado il nostro occhio non sia sufficientemente rapido da distinguere la forma di una traiettoria, oggi la tecnologia ci viene in aiuto e ci consente di rappresentare questo fenomeno. Nella prima figura una serie di fotografie scattate a tempi ravvicinati e sovrapposte ci permettono di riconoscere la forma della traiettoria di una palla da basket che rimbalza:

 

Nella seconda figura vediamo uno dei pochi casi in cui non è necessario ricorrere alla fotografia per riconoscere quanto abbiamo scoperto insieme: le particelle d’acqua fuoriescono dalla fontana in modo continuo disegnando letteralmente una parabola nell’aria.

 

 

 

Crediti immagini:

MichaelMaggs Edit by Richard Bartz http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg

GuidoB http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ParabolicWaterTrajectory.jpg



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Relatori

Marco Guglielmino

Relatore di Oilproject

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