Video su Limiti

Definizione di limite

Il concetto di limite di una funzione è fondamentale nello sviluppo dell'analisi matematica: su di esso poggia ad esempio anche la definizione di derivata.

L'idea che sta dietro il concetto è piuttosto semplice, se espressa in modo informale: il limite di una funzione è, in un certo senso, il valore a cui la funzione tende, quando la variabile indipendente tende ad un certo valore. La traduzione di questa idea in termini rigorosi, tuttavia, è assai complessa: si dice che il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ è uguale ad $l$, e si scrive $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$ se per ogni $\varepsilon$ esiste un $\delta$ (in generale dipendente da $\varepsilon$, la funzione $f$ ed $x_0$) tale per cui ogni volta che $x$ dista al più $\delta$ da $x_0$, $f(x)$ dista al più $\varepsilon$ da $l$, il che si scrive $$ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \Rightarrow f(x) \in (l - \varepsilon, l + \varepsilon) $$

In questo video, avrai modo di comprendere meglio il significato dei vari parametri $\varepsilon$ (epsilon) e $\delta$ (delta), che compaiono nella definizione, soprattutto attraverso una loro interpretazione grafica. Lavoreremo infatti con il software GeoGebra, e tu stesso potrai sperimentare collegandoti all'URL http://www.geogebratube.org/student/m37408, dove è disponibile una versione interattiva del file.

La definizione di limite trova una generalizzazione naturale nella definizione di limite per una funzione di più variabili.