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Integrazione delle funzioni razionali: descrizione della procedura e primi esempi

Le funzioni razionali fratte costituiscono una delle pochissime famiglie di funzioni piuttosto numerose per cui esiste una procedura di integrazione completa: data cioè una funzione razionale fratta, sappiamo sempre stabilirne una primitiva.

Seguendo le indicazioni presenti in questo video è possibile calcolare l'integrale di una qualsiasi frazione algebrica il cui denominatore sia scomponibile nel prodotto di binomi di primo grado distinti. Sono assai utili a riguardo i prodotti notevoli.

I passi che devono essere compiuti per ottenere il risultato sono quattro:

  1. Divisione algebrica tra il polinomio al numeratore e quello al denominatore; questo punto si può eseguire solo quando il grado del polinomio al numeratore è maggiore o uguale al grado del polinomio al denominatore;
  2. Fattorizzazione del denominatore come prodotto di polinomi di grado uno.
  3. Decomposizione della frazione rimanente in somma di frazioni semplici;
  4. Integrazione separata delle frazioni ottenute, grazie alla linearità dell’integrale.

Se i polinomi al denominatore non sono ulteriormente irriducibili, non si può procedere come appena indicato e bisogna ricorrere ad altri espedienti, illustrati nel prossimo video.

Il contenuto è disponibile anche sul canale Youtube LessThan3Math creato dal relatore Elia Bombardelli.