Distanza di un punto da una retta: spiegazione e esempi

Per calcolare la distanza di un punto da una retta conviene utilizzare la formula apposita per quanto sia complicata. Cominciamo con lo scriverla e poi vediamo come si utilizza. Dato un punto $P \equiv (x_P;y_P)$ e una retta $r$ di equazione $ax+by+c=0$ la distanza di $P$ da $r$ è data da $$dist (P,r) = \frac{|a x_P+b y_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Per esempio calcoliamo la distanza del punto $P \equiv (-2,1)$ dalla retta $r$ di equazione $3x+4y-3=0$. Cominciamo con l’identificare i coefficienti: $a=3$, $b=4$, $c=-7$, mentre le coordinate del punto sono $x_P=-2$ e $y_P=1$. Quindi sostituendo abbiamo $$dist (P,r)=\frac{|3\cdot(-2)+4\cdot1-3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-5|}{\sqrt{25}}=\frac{5}{5}=1$$ Questo esempio mostra come il valore assoluto sia indispensabile per evitare che il risultato sia negativo: una distanza infatti può essere soltanto positiva.

 

Nel caso la retta sia fornita in forma esplicita è necessario convertire prima l’equazione in forma implicita portando tutti i termini dalla stessa parte dell’uguale e poi si può procedere come nell'esempio precedente. Per esercizio calcoliamo la distanza di $P \equiv (2;-3)$ da $y=\frac{5}{12}x-\frac{7}{12}$. La retta in forma implicita diventa $\frac{5}{12}x-y-\frac{7}{12}=0$, quindi $a=\frac{5}{12}$, $b=-1$ e $c=-\frac{7}{12}$. Di conseguenza la distanza diventa: $$dist (P,r)=\frac{ \left |\frac{5}{12}\cdot2-(-3)-\frac{7}{12} \right | }{\sqrt{\frac{25}{144}+1}}=\frac{\frac{39}{12}}{\frac{13}{12}}=3$$

L’importanza di questa formula, in sé piuttosto sterile, è dovuta al fatto che rientra in molti problemi di geometria analitica del piano. E’ quindi assolutamente indispensabile memorizzarla e ricordare come si utilizza correttamente.

 

Domande
Hai dubbi? Fai una domanda!
Relatori

Marco Guglielmino

Relatore di Oilproject

Cerca tra migliaia di lezioni, corsi ed esercizi, quello che fa per te!
categorie
corsi
video
testi
esercizi
domande
definizioni