Per poter calcolare la derivata di una funzione è importante conoscere le derivate delle funzioni elementari e sapere le regole di derivazione (derivata di somma, prodotto, quoziente, funzione composta e funzione inversa).
Di seguito sono riportate in tabella tutte le derivate fondamentali (o meglio delle funzioni elementari), suddivise in 3 gruppi:
- derivate di funzione: costante, potenza e radice;
- derivate di funzioni goniometriche;
- derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche.
Funzioni costanti, potenze (con esponente naturale o reale) e radici
| Funzione $f(x)$ | Derivata $f'(x)$ |
| costante | $\ y'=0$ |
| $\ y=x^n$ con $n \in \mathbb{N}$ | $\ y'=nx^{n-1}$ |
| $\ y=x^\alpha$ con $\alpha \in \mathbb{R}$ | $\ y'=\alpha x^{\alpha-1}$ |
| $\ y=\sqrt[n]{x}$ con $n>0$ | $\ y'=\dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ |
Funzioni goniometriche
| Funzione $f(x)$ | Derivata $f'(x)$ |
| $\ y=\sin x$ | $\ y'=\cos x$ |
| $\ y=\cos x$ | $\ y'=-\sin x$ |
| $\ y=\tan x$ | $\ y'=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x$ |
| $\ y=\cot x$ | $\ y'=-\dfrac{1}{\sin^2x}=-(1+\cot^2x)$ |
| $\ y=\arcsin x$ | $\ y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\ y=\arccos x$ | $\ y'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\ y=\arctan x$ | $\ y'=\dfrac{1}{1+x^2}$ |
| $\ y=\text{arccot } x$ | $\ y' =- \dfrac{1}{1+x^2}$ |
Funzioni esponenziali e logaritmi
| Funzione $f(x)$ | Derivata $f'(x)$ |
| $\ y=a^x$ | $\ y'=a^x\ln a$ |
| $\ y=e^x$ | $\ y'=e^x$ |
| $\ y=\log_a x$ | $\ y'=\dfrac{1}{x\ln a}$ |
| $\ y=\ln x$ | $\ y'=\dfrac{1}{x}$ |
Questo formulario e la conoscenza delle regole di derivazione permettono di calcolare la derivata di una generica funzione. A titolo di esempio, riportiamo nella tabella che segue le regole di derivazione di una funzione del tipo $g(x) = h(f(x))$, dove $f(x)$ è una funzione elementare (potenze, funzioni goniometriche, funzioni esponenziali e logaritmiche).
| Funzione $g(x)$ | Derivata $g’(x)$ |
| $\ g(x) = f(x)^\alpha$ con $\alpha \in \mathbb{R}$ | $\ g’(x) = \alpha \cdot f(x)^{\alpha - 1} \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = \sin f(x)$ |
$\ g’(x) = \cos f(x) \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = \cos f(x)$ |
$\ g’(x) = -\sin f(x) \cdot f’(x)$ |
|
$\ g(x) = \tan f(x)$ |
$\ g’(x) = \dfrac{1}{\cos^2 \left ( f(x) \right )} \cdot f’(x) = \left ( 1 + \tan^2 f(x) \right ) \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = \cot f(x)$ | $\ g’(x) = - \dfrac{1}{\sin^2 \left ( f(x) \right )} \cdot f’(x) = - \left ( 1 + \cot^2 f(x) \right ) \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = \arcsin f(x)$ | $\ g’(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}} \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = \arccos f(x)$ | $\ g’(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}} \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = \arctan f(x)$ | $\ g’(x) = \dfrac{1}{1+f(x)^2} \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = \text{arccot } f(x)$ | $\ g’(x) = - \dfrac{1}{1+f(x)^2} \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = a^{f(x)}$ | $\ g’(x) = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = e^{f(x)}$ | $\ g’(x) = e^{f(x)} \cdot f’(x)$ |
| $\ g(x) = \log_af(x)$ | $\ g’(x) = \dfrac{f’(x)}{f(x) \cdot \ln a}$ |
| $\ g(x) = \ln f(x)$ | $\ g’(x) = \dfrac{f’(x)}{f(x)}$ |