Rette tangenti a una circonferenza

Una retta è tangente a una circonferenza se esse in comune hanno un solo punto. Mettendo a sistema l’equazione della circonferenza e quella della retta generica, dopo semplici passaggi algebrici scopriamo che una retta è tangente solo se il $\Delta$ della equazione risolvente di secondo grado è nullo: si ottiene quindi la condizione di tangenza $\Delta = 0$.

Se volessimo dunque trovare le rette tangenti a una circonferenza data passanti per un punto dato $P \equiv (x_P; y_P)$, si procede con i seguenti passaggi:

  1. Si scrive l’equazione del fascio proprio di rette passanti per $P$: $y-y_P = m(x-x_P)$
  2. Si mette a sistema l’equazione della circonferenza con quella del fascio appena scoperto: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 +ax + by + c = 0 \\ y-y_P = m (x - x_P) \end{cases}$$
  3. Trovata l’equazione risolvente, imponiamo la condizione di tangenza $\Delta = 0$. Questa è un’equazione di secondo grado in $m$, e, come tale, può avere zero, una o due soluzioni.
  4. A questo punto, se non ci sono soluzioni di $\Delta =0$, il punto $P$ è interno alla circonferenza e non esistono tangenti; se la soluzione è una sola il punto $P$ appartiene alla circonferenza, e la tangente è unica  e la soluzione rappresenta il suo coefficiente angolare; se le soluzioni sono due, il punto $P$ è esterno alla circonferenza e le tengenti sono due, i coefficienti angolari delle quali sono individuati dalle due soluzioni.

Evidenziamo che il metodo sopra illustrato è essenzialmente identico a quello sfruttato per trovare le tangenti a una parabola passanti per un punto.

 

Possiamo anche sfruttare condizioni derivanti da alcune proposizioni di Geometria Euclidea per individuare la retta tangente: ricordiamo che una retta tangente a una circonferenza dista dal centro una lunghezza uguale al raggio; e che una retta tangente è sempre perpendicolare al raggio.

 

In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math