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Capitalizzazione semplice e sconto razionale

 

Nelle applicazioni finanziarie, ad esempio quando viene concesso un mutuo o viene emesso un titolo di debito, l'entità dell'interesse non dipende esclusivamente dal capitale ma anche dalla durata temporale dell'impiego. In termini un po' più formali, possiamo dire che l'interesse I dipende dal capitale C ma anche dal tempo t. Fermarci qui però non è sufficiente, è infatti necessario sapere qualcosa in più sulla struttura della relazione tra I e t.

 

 

La relazione più immediata a cui possiamo pensare è quella di proporzionalità: possiamo definire l'interesse I come una determinata frazione del prodotto tra il capitale impiegato C e il periodo in cui questo capitale viene detenuto da chi l'ha preso in prestito. In formula, abbiamo che I=Cti, con i che indica il tasso d'interesse.

 

 

Se ad esempio impieghiamo un capitale di 100 al tasso d'interesse del 5% per un anno, l'interesse relativo sarà I=100 x 1 x 0,05=5.

 

È opportuno a questo punto ricordare che il montante M è pari al capitale C sommato all'interesse I: di conseguenza M= C+I = C+Cti = C(1+it). Se dividiamo entrambi i membri per C otteniamo il fattore di capitalizzazione (detto anche fattore di montante) che esprime la struttura del regime di capitalizzazione analizzato: in questo caso M/C=(1+it).

 

Questo regime è detto di capitalizzazione semplice e l'interesse I ad esso collegato è conosciuto come interesse semplice.

 

 

Il ragionamento analogo vale per l'operazione di attualizzazione semplice; è interessante ricavare il fattore di sconto dall'operazione di capitalizzazione per evidenziare il legame esistente tra i due regimi. Partiamo da una semplice considerazione: l'operazione di attualizzazione è speculare a quella di capitalizzazione. Mentre quando capitalizziamo stiamo "spostando" del denaro in avanti, stiamo cioè stimando l'equivalente al tempo 2 di una somma di denaro al tempo 1, l'attualizzazione procede nel senso inverso, ha come obbiettivo il calcolo del valore che una certa somma al tempo 2 assume al tempo 1.

 

 

Il fattore di attualizzazione è pari a M/C, il fattore di sconto è uguale a A/S, ma entrambi i regimi espongono lo stesso concetto da due punti di vista differenti. Se al termine di un'operazione di capitalizzazione in cui abbiamo ottenuto il montante M decidiamo di scontarlo per ottenere il suo valore attuale, se il tasso d'interesse è pari al tasso di sconto e il periodo considerato è lo stesso per entrambi i regimi, ciò che otteniamo è semplicemente il capitale iniziale. Quindi possiamo dire che C è il valore attuale A dell'operazione di attualizzazione del valore nominale S=M.

 

Il punto appena esposto ci permette di concludere che il fattore di sconto A/S può essere scritto, usando la notazione del regime di capitalizzazione, come C/M.

 

C/M è il reciproco di M/C, il fattore di montante f, dunque il fattore di sconto φ=C/M=1/(M/C), vale a dire φ=1/f. Nel caso qui esaminato, φ=1/(1+it) e lo sconto semplice o sconto razionale D è tale che D=dt, con d che in questo caso è uguale a i per ipotesi.