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Calcolo integrale: area sottesa al grafico di una funzione

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Una delle applicazioni più comuni del calcolo integrale è quella che consente di misurare le aree di figure piane dai lati curvilinei. L’area così trovata però è da intendersi come “area con segno”: il calcolo integrale tiene conto del segno della funzione integranda, ovvero se il grafico della funzione si trova sopra o sotto l’asse delle ascisse.
Più precisamente, data una funzione $f(x)$ definita su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, se $f$ assume soltanto valori positivi su $[a,b]$, ossia se $f(x) \geq 0$ $\forall x\in[a,b]$, l'area compresa tra l'asse delle ascisse, le due rette verticali di equazioni $x=a$ e $x=b$ e il grafico della funzione è da $$ Area = \int_a^b {f(x) \ dx} \quad \mbox{ se } f(x) \geq 0 \ \ \forall x \in [a,b]$$
Se i valori assunti da $f$ nell'intervallo sono invece negativi, ossia se $f(x) \leq 0$ $\forall x \in[a,b]$, l'integrazione fornisce la misura dell'area, ma cambiata di segno: $$ Area = - \int_a^b{f(x)dx}\quad \mbox{ se } f(x) \leq 0 \ \ \forall x \in [a,b] $$
Se vogliamo calcolare l’area sottesa al grafico di una funzione la quale cambia segno in un intervallo $I$, è necessario suddividere l’intervallo $I$ in sottointervalli sui quali la funzione $f$ sia sempre o positiva o negativa, calcolare queste aree con le formule appena presentate, e sommare i risultati ottenuti.
Se dobbiamo infine calcolare la misura dell’area delimitata dai grafici di due funzioni, $f$ e $g$, che soddisfino sempre $f \leq g$ $\forall x \in [a,b]$, possiamo usare la formula $$ Area = \int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right] \ dx $$

In questo video vengono presentati alcuni esempi per ciascuno dei casi sopra esposti.
Ci sono anche situazione particolari, in cui la funzione da integrare o l'intervallo su cui va integrata non sono limitati: è il caso degli integrali improri.

Il contenuto è disponibile anche sul canale Youtube LessThan3Math creato dal relatore Elia Bombardelli.

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Relatori

Elia Bombardelli

Relatore di Oilproject

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