Eserciziario su relazioni, funzioni e logica

Consideriamo due insiemi $A$ e $B$. Una relazione $\mathcal{R}$ tra $A$ e $B$ è una legge matematica che ad ogni elemento di $A$ associa uno e un solo elemento di $B$.

Consideriamo gli insiemi $A = \mathbb{Z}$ e $B = \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$, e la relazione definita nel modo seguente:
$$ \text{per } (a,b) \in A \times B, a \mathcal{R} b \Leftrightarrow b = a^4 $$
Stabilire quale delle seguenti affermazioni è vera.

Stabilire quali delle seguenti proprietà sono comuni ad una relazione d’ordine e ad una relazione di equivalenza.

Sia $f: A \rightarrow B$ una funzione. La funzione $f$ è iniettiva se e solo se la retroimmagine di ogni elemento di $B$ è costituita esattamente da un solo elemento di $A$.

Sia $A = \{x \in \mathbb{R} \ |\ x \neq 0\}$, e si definisca la funzione $f: A \rightarrow A$ per $f(x) = x^{100}$. Preso un numero $y \in A$, quante sono le sue retroimmagini tramite $f$?

A fianco di ciascuna proprietà di una funzione $f : A \rightarrow B$, indicare una condizione sufficiente per la quale è verificata.

Detto $\mathbb{R}^+ := \{ x \in \mathbb{R} \ |\ x > 0 \}$, sia definita la funzione $f: A \rightarrow B$, $f(x) =x^2$, con $A$ e $B$ che possono essere $\mathbb{R}$ o $\mathbb{R}^+$. Per ogni scelta di $A$ e $B$, indicare di quali proprietà gode la funzione $f$.

Date due proposizioni $p$ e $q$, supponiamo sia vera la proposizione $p \rightarrow q$. Quali delle seguenti proposizioni è sicuramente vera?

Siano $A$ e $B$ due proposizioni, rispettivamente vera e falsa. L’espressione $\overline{\overline{A \vee B} \leftrightarrow \overline{A} \wedge B} $ è vera o falsa?

Di seguito sono elencati i possibili valori di verità di due proposizioni $p$ e $q$: selezionare ciascuno dei quali rende vera la proposizione $(q \rightarrow p) \rightarrow \overline{p \rightarrow q}$.