"quasi tutte le rette"

Nel video si dice che il fascio raccoglie quasi tutte le rette.......poi si determina la retta x + y+1 =0, ma non si capisce la conclusione!!!! nel disegno si vede che anche questa passa per il centro, ma questa retta fa parte o non fa parte del fascio? se no...perchè?


il 09 Febbraio 2016, da serena iacuzzo

Giovanni Barazzetta il 10 Febbraio 2016 ha risposto:

Ciao Serena! Un fascio di rette proprio consiste di tutte le rette che passano per un punto, detto centro. C'è una sostanziale differenza tra il fascio e l'equazione che lo rappresenta. Nel video, si analizza il fascio di equazione$$ kx + (k-1)y + k-2 = 0$$Si trova che il centro del fascio è il punto $C \equiv (1; -2)$, intersecando due rette del fascio (ottenute scegliendo due valori diversi del parametro $k$). La retta $r$ di equazione $x+y+1 =0$ passa per $C$ (basta sostituire le coordinate di $C$ nell'equazione e vedere che è verificata), e quindi, per definizione stessa del fascio, fa parte del fascio. Purtroppo però non è possibile ricavare l'equazione della retta $r$ da quella del fascio: questo perché, raccogliendo il parametro $k$, si ottiene una parentesi con dentro proprio $x+y+1$. L'equazione del fascio proprio di rette infatti può essere scritta in due modi: se ho il centro, essa è$$ y-y_0= m(x-x_0)$$dove il centro ha coordinate $(x_0;y_0)$; in questa forma tuttavia non posso ottenere l'equazione della retta verticale $x=x_0$ che appartiene al fascio. Altrimenti, un altro modo di scrivere l'equazione di un fascio proprio è questa: siano $s$ e $t$ due rette passanti per il centro, di cui conosco le equazioni in forma implicita (per passare da forma implicita ad esplicita, basta seguire i consigli di questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/equazione-della-retta-forma-implicita-e-forma-esplicita-4461.html); allora il fascio è dato dall'equazione$$ k\left( \text{eq. di } s\right) + \text{eq. di } t = 0$$In questo caso, non riesco ad ottenere proprio la retta $s$, anche se appartiene al fascio. Nell'esempio del video, abbiamo il fascio di equazione $ k(x + y+1) -y-2 = 0$, e quindi la povera $x+y+1 = 0$ non la possiamo per nessun valore di $k$ :( Spero di essere stato chiaro: se hai dubbi, chiedi pure! Ciao e buona giornata.