integrale di tan x

salve, nell'integrale di tanx , essendo la tangente uguale al rapporto tra seno e coseno, perchè viene trattata come se fosse 1/cosx? quale calcolo è stato svolto? sen x come viene trattato?


il 01 Maggio 2015, da Emanuel Sola

Michele Ferrari il 04 Maggio 2015 ha risposto:

Ciao Emanuel! Nello svolgere l’integrale indefinito della funzione $\tan x$ si considera anche la funzione $\sin x$ presente al numeratore della tangente. Infatti se applichiamo il metodo di integrazione per sostituzione (spiegato a questa pagina: https://library.weschool.com/lezione/integrazione-sostituzione-formule-ed-esempi-di-integrali-risolti-7433.html ) possiamo vedere l’integrale in questione in questo modo: $$\int \tan x dx = - \int \frac{- \sin x}{\cos x} dx = - \int \frac{f’(x)}{f(x)}dx$$ con $f(x) = \cos x$. Se applichiamo la sostituzione $y = f(x) = \cos x$, allora otteniamo effettivamente $$\int \tan x dx = - \int \frac{1}{y} dy = - \ln |y|+c = -\ln |\cos x| +c $$Se tentassimo di risolvere l’integrale $\int \frac{1}{\cos x}dx$, allora il risultato non sarebbe $- \ln |\cos x | + c$, proprio perché manca $\sin x$ al numeratore dell’integranda :) Spero di averti chiarito le idee, ma se hai altro da chiedere dimmi pure!